Quem nunca pensou que poderia quebrar as leis da matemática ao contar além do infinito? Pois, ao que parece, pesquisadores descobriram o que existe no universo desconhecido dos números infinitos.
Em um artigo publicado em 18 de novembro no portal de pré-prints Arxiv, Juan P. Aguilera, Joan Bagaria e Phillip Lucke apresentam o conceito de números cardinais "ultraexatos", que “vivem na região mais alta da hierarquia dos grandes cardinais”. Os números cardinais são aqueles que representam uma quantidade absoluta ou exata de algo, como 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Os grandes cardinais são números "tão grandes que não se pode provar que existem usando os axiomas padrão da matemática”, explica Joan Bagaria, um dos três coautores do novo artigo ao portal IFL Science. Esses números existem para além do ZFC, sigla significa “Zermelo-Fraenkel mais Axioma da Escolha”, dois conjuntos mínimos de regras que constituem a base de quase toda a matemática do mundo.
A existência deles fora do ZFC não pode ser provada, mas é supostamente verdadeira, da mesma forma que x = x. Esta posição fora das regras, porém, faz dos grandes cardinais uma ferramenta valiosa para lidar com as áreas mais complicadas da matemática.
Eles "nos permitem provar muitos teoremas novos e, por conseguinte, decidir muitas questões matemáticas que são indecifráveis usando apenas os axiomas ZFC”, defendeu Bagaria.
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A pesquisa dos cientistas descobriu que os cardinais são divididos em "exatos" e "ultraexatos", que vivem na região mais alta da hierarquia dos grandes cardinais.
Até então, tudo bem. No entanto, os novos cardinais causam problemas às imagens de infinito de alguns matemáticos. O problema acontece por conta de uma propriedade chamada Definibilidade Ordinal Hereditária (HOD): a ideia de que um conjunto, mesmo infinitamente grande, pode ser compreendido por meio de uma "contagem até ele".
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É uma ferramenta útil para a resolução de problemas do infinito. Se todos os conjuntos pudessem ser definidos dessa forma, o caos dos grandes cardinais seria um lapso e, não, um desvendamento.
Na última década, os teóricos têm debatido a chamada conjectura HOD. “A conjetura HOD diz-nos que o universo matemático é ordenado e 'próximo' do universo dos objetos matemáticos definíveis”, afirmou Juan Aguilera, coautor do novo artigo.
“Normalmente, as grandes noções de infinito 'ordenam-se' no sentido em que, mesmo que sejam descobertas em contextos diferentes, uma é sempre claramente maior ou mais pequena do que as outras”, disse Aguilera. “Os cardeais ultraexatos parecem ser diferentes.”
Além de não se adaptarem bem a si próprios, os ultraexatos fazem com que os cardinais se comportem de maneira "estranha" com as noções de infinito. “Amplificam outros infinitos: os cardeais considerados 'ligeiramente grandes' comportam-se como infinitos muito maiores na presença de cardinais ultraexatos", acrescenta o cientista.
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Em outras palavras, o conjunto dos cardinais ultraexatos é um emaranhado inesperado no que se esperava ser uma hierarquia bem delineada, e tem impactos diretos na definição de infinito.
Depois de tantos anos de crença na conjectura HOD, será que é tão ruim assim que os cardinais ultraexatos não a obedeçam? A nova pesquisa abre um novo mundo de grandes cardinais, com comportamentos e implicações prontos para serem investigados.
"Pode ser que estes sejam os primeiros exemplos de um novo tipo de infinito", completa Aguilera.
Vale ressaltar que o estudo está em fase de pré-print e precisa ainda ar pela revisão por pares.